Aлгебра та початки аналізу - 11 Урок 3-6

Похідна функції, Її геометричний та механічний зміст. 
правила диференціювання.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням. Поняття похідної функції  має широке застосування у математиці. фізиці, економіці тощо. Розглянемо її аналітичний, геометричний, механічний зміст.

Означення похідної

Похідною функції y=f(x)  у точці х0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Геометричний зміст похідної:

Значення похідної в точці  x0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0  і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у = f (x) в точці (х0 ; у0) дорівнює значенню похідної в точці х0.

k – кутовий коефіцієнт дотичної

k = tg α, α – кут нахилу дотичної

Механічний зміст похідної:

х0 – координата точки

v(t0)- швидкість точки в момент часу t0

а(t0) – прискорення точки в момент часу t0

Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.

Основні правила диференціювання.

Нехай u(x), v(x), – диференційовні в точці х функції, С – стала.

Таблиця похідних (формули диференціювання основних елементарних функцій) 

Відеоуроки